π即是若干(若何优雅地盘算π?)

不知不觉中,我们又迎来了一年一度的“π日”(以及白色情人节)。2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节。小学数学课本告诉我们,π的小数部门是一个无限不循环…

不知不觉中,我们又迎来了一年一度的“π日”(以及白色情人节)。2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际数学节。小学数学课本告诉我们,π的小数部门是一个无限不循环小数,不能简朴地用分数完全示意。以是值此π日之际,让我们重温小学的数学知识,揭开π的神秘面纱。

某不存在的网站上庆祝π日的Doodle,2018年3月14日。值得一提的是图片上展示的是名厨Dominique Ansel为π日稀奇设计的苹果派。向下滑动浏览详细菜谱

资料泉源:piday.org

(P.S.:小编昔时亲测过此菜谱,若是有小伙伴想在家实验,小编只能说……实在没有苹果的苹果派照样蛮好吃滴)

1 π的宿世今生

π就是人们常说的圆周率,是一个数学常数,界说为圆的周长和其直径的比值。早在远古时期,人类就发现圆的周长与其直径之间有着不可告人的隐秘。有出土文物显示,早在古巴比伦时期,那时的几何学家已经将圆周率的值推算到25/8。

最早的有纪录的严谨算法可以追溯到公元前250年,古希腊数学家阿基米德通过正多边形算法获得了π的下界与上界分别为223/71与22/7,即3.140845< π <3.142857。

《沉思的阿基米德》

艺术家

年份

类型

珍藏地

Domenico Fetti

约1620年

布面油画

Gemäldegalerie Alte Meister,德累斯�

阿基米德求圆周率的思绪是首先组织圆内接多边形和对应的外切多边形。当边数足够大时,两个多边形的周长便趋近于圆周长的下界与上界。

思索题:若何证实22/7>π?

提醒:

点击空白处偷看谜底

在此之后,数学家先后通过割圆术、无限级数等方式盘算π的值。1706年,英国天文学家约翰·梅钦已经可以行使格雷果里-莱布尼茨级数发生的公式盘算到π的第100位小数。同样在这一年,威廉·琼斯在《新数学导论》中第一个将π作为圆周率的专属符号,但真正让各国数学家接受这一设定的还要归功于莱昂哈德·欧拉。1736年,欧拉在其《力学》一书中开始使用符号“π”,今后数学家们纷纷效仿。

《莱昂哈德·欧拉(1707-1783)》

艺术家

年份

类型

珍藏地

Jakob Emanuel Handmann

约1756年

油彩

Deutsches Museum, 慕尼黑

莱昂哈德·欧拉,近代数学先驱,有史以来最伟大的数学家之一。法国数学家拉普拉斯曾这样评价欧拉的孝敬:“读读欧拉,他是所有人的先生。”

稀奇地,π的值为3.1415926535897......,不仅是一个无理数(也就是说π是无限不循环小数),同时也是一个逾越数(所谓“逾越数”,是指不满足任何整系数多项式方程的实数的数)。

“逾越数”一词出自欧拉1748年的谈论:“它们逾越代数方式所及的局限之外。”但直到1844年,其存在性才被法国数学家刘维尔证实。

是的,小编先容逾越数就是为了发这张脸色……以是看到的同砚不转发谈论点赞吗?

2 割圆术:优雅地盘算π

说到π的盘算,就不得不提赫赫著名的“割圆术”。约公元265年,数学家刘徽创立了割圆术,用正3072边形盘算出π的数值为3.1416。之后祖冲之在公元480年行使割圆术盘算正12288边形的边长,获得圆周率约即是355/113(即密率)。在之后的八百年内,这都是准确度最高的π估计值。

图片泉源:wikipedia

祖冲之(429~500),字文远,南北朝刘宋数学家。祖冲之给出了两个分数值的圆周率:22/7(“约率”)与355/113(“密率”),后者将圆周率正确到小数点后第7位,这一纪录直到一千多年后才由阿拉伯数学家阿尔·卡西打破。

割圆术的原理现在看来十分简朴,行使简朴的小学数学就可以论证。简而言之,就是将圆分割成多边形,分割来越细,多边形的边数越多,多边形的面积就和圆的面积越靠近。

图片泉源:bilibili

固然若是我们站在刘徽和祖冲之的时代思索,这里另有一个知识点亟待解决,即圆的面积与周长间的关系。同样行使小学数学,我们获得 N边形的面积 = N边形的半周长 × N边形外接圆半径

"N边形的面积 = N边形的半周长 × N边形外接圆半径"的证实

当N极大时,其面积也就极为靠近于圆,也就是 圆的面积 = (圆的周长/2) × 半径。这样也就成功地将圆的面积与周长联系了起来。行使Wolfram Cloud,我们可以很直观地演示割圆术的运算历程。(你问为啥不直接用Mathematica?远程办公的小编示意不卸载游戏的情况下硬盘没有足够的空间安装大型软件)

知识点:割圆术的迭代算法

前文中只是大略的先容了割圆术的原理,在现实操作中还会遇到一些技术上的小问题。这里简朴先容割圆术的迭代算法,有兴趣的同砚可以用盘算机模拟(有时间的同砚可以试试像祖冲之一样笔算)。

如上图以O为圆心作圆O,然后组织正多边形。原则上,多边形可以为随便边。不失一样平常性,此处正六边形。从圆心O作某一条边的垂直平分线OB,毗邻AB即为圆O的内接正十二边形的一条边。OB与正六边形的边相交于点C。设 |OC| = H,|CB| = h,|OA| = R ,正六边形的边长 = M,正十二边形的边长 = |AB| = m。于是有

为了简捷盘算,令 |OA| = R =1,则有

于是我们获得了边长的迭代公式

前面已经论证过“N边形的面积 = N边形的半周长 × N边形外接圆半径”,又由界说得知圆周率是“圆的周长和其直径的比值”,故正N边形的面积(S),边长(m),外接圆半径(R)之间有

同样令 R =1,我们有

连系上面的迭代公式,显然可以获得

这里m和π的下标N示意结果是在正N边形的前提下求得的。显然,随着边数N的增大,求得的π的值也趋近于π的真实值。

3 无限级数:更优雅地盘算π

行使割圆法盘算圆周率虽然思绪对照简朴,但在盘算上照样对照繁琐,尤其是已往的数学家不像小编这样可以借助Mathematica盘算。至今行使多边形盘算π最准确的结果是奥地利天文学家克里斯托夫·格林伯格在1630年获得的。为此格林伯格行使正10的40次方(也就是1后面40个0)边形,盘算获得π的第38位小数。为此,新的思绪也就应运而生。

图片泉源:wikipedia

弗朗索瓦·韦达(左)、约翰·沃利斯(中)、戈特弗里德·莱布尼茨(右)。接下来先容的方式就来自这三位大神。

韦达的无限乘积

图片泉源:twitter@fetedayy

套娃忠告:此处无法“克制套娃”~

韦达给出的实在并不是无限级数,而是无限乘积。一样平常以为,韦达的这项事情是欧洲最早的有关无限项圆周率的公式。虽然小编暂时没有考证到韦达最初是若何完成这项证实的,不外行使我们中学的数学知识基本可以完成证实。证实思绪就是倍角公式。

等式双方同时除以x,有

这里需要借助一点大学的内容,行使极限

我们有

取 x = π/2,我们很容易获得

沃利斯乘积

沃利斯乘积,又称沃利斯公式,由英国数学家约翰·沃利斯于1655年发现。要严酷证实这个等式步骤有些繁琐(也就是说列位读者老爷懒的看),以是我们借助欧拉(没错,又是他!)处置巴塞尔问题时使用的技巧来证实这一等式。(这里值得一提的是,欧拉昔时“求解”巴塞尔问题的方式现在看来也是不完整的。)

首先思量正弦函数的麦克劳林睁开:

双方同除以x,得

思量到方程 sin (x) / x = 0 的根位于 x = …,-2π,-π,π,2π,…处,以是有

令 x = π/2,

公式得证。

格雷果里-莱布尼茨公式

上面提到的两个方式之以是对照著名,主要是因为提出的时间对照早。在现实盘算历程中,人们更倾向于使用上面这个公式。它是由莱布尼茨于1674年发现,被称为格雷果里-莱布尼茨公式。不外有的小伙伴已经发现,这实在就是arctan函数的麦克劳林睁开。由于太过于着名,信赖人人已经烂熟于心,以是这里就不外多先容公式的证实了。当x取1时,arctan函数正好即是π/4,以是比起以往的算法更为简朴。

不外稀奇提醒想要亲自盘算的同砚,虽然格雷果里-莱布尼茨公式看起来盘算简练,但其收敛速率异常慢,因此现在基本不会用此公式来盘算圆周率。这里推荐一个印度传奇数学家拉马努金给出的公式

 

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作者: admin

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